（Ⅰ）设C（x，y），∵

OC

=α

OA

+β

OB

，

∴（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）．

∴

x=α y=-2β

&∵α-2β=1  &∴x+y=1

即点C的轨迹方程为x+y=（15分）

（Ⅱ）由

x+y=1 x2 a2 - y2 b2 =1

得（b²-a²）x²+2a²x²-a²-a²b²=0

由题意得

b2-a2≠0 (2a2)2+4(b2-a2)(a2+a2b2)=4a2(b4+b2-a2)＞0

（8分）

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则x1+x2=-

2a2

b2-a2

，x1x2=-

a2+a2b2

b2-a2

（10分）

∵以MN为直径的圆过原点，∴

OM

•

ON

=0．即x₁x₂+y₁y₂=0．

∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂

=1+

2a2

b2-a2

-

2(a2+a2b2)

b2-a2

=0．即b²-a²-2a²b²=0．

∴

1

a2

-

1

b2

=2为定值．（14分）