已知两点A(-2,0)、B(2,0),动点P满足kPA • kPB=-
(1)求动点P的轨迹E的方程; (2)H是曲线E与y轴正半轴的交点,曲线E上是否存在两点M、N,使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由. |
(1)设点P的坐标为(x,y)(y≠0),则kPA=
y-0 |
x+2 |
y-0 |
x-2 |
∵kPA • kPB=-
1 |
4 |
y |
x+2 |
y |
x-2 |
1 |
4 |
x2 |
4 |
∴动点P的轨迹E的方程为
x2 |
4 |
(2)设能构成等腰直角三角形HMN,其中H为(0,1),
由题意可知,直角边HM,HN不可能垂直或平行于x轴,故可设HM所在直线的方程为y=kx+1,(不妨设k>0)
则HN所在直线的方程为y=-
1 |
k |
|
8k |
1+4k2 |
-8k2 |
1+4k2 |
∴|HM|=
(-
|
8k
| ||
1+4k2 |
用-
1 |
k |
8
| ||
4+k 2 |
由|HM|=|HN|,得k(4+k2)=1+4k2,
∴k3-4k2+4k-1=0⇒(k-1)(k2-3k+1)=0,
解得:k=1或k=
3±
| ||
2 |
当HM斜率k=1时,HN斜率-1;当HM斜率k=
3+
| ||
2 |
-3+
| ||
2 |
3-
| ||
2 |
-3-
| ||
2 |
综上述,符合条件的三角形有3个.