问题
解答题
已知两点A（-2，0）、B（2，0），动点P满足kPA • kPB=-
（1）求动点P的轨迹E的方程； （2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），则kPA=
，kPB=y-0 x+2
，y-0 x-2
∵kPA • kPB=-
，∴1 4
• y x+2
=-y x-2
，化简得1 4
+y2=1，x2 4
∴动点P的轨迹E的方程为
+y2=1（y≠0）．注：如果未说明y≠0，扣（1分）．x2 4
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），
由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）
则HN所在直线的方程为y=-
x+1，由1 k
求得交点M(-y=kx+1 x2+4y2=4
，8k 1+4k2
+1)，（另一交点H（0，1））-8k2 1+4k2
∴|HM|=
=(-
)2+(-8k 1+4k2
)28k2 1+4k2
，8k 1+k2 1+4k2
用-
代替上式中的k，得|HN|=1 k
，8 1+k2 4+k 2
由|HM|=|HN|，得k（4+k2）=1+4k2，
∴k3-4k2+4k-1=0⇒（k-1）（k2-3k+1）=0，
解得：k=1或k=
，3± 5 2
当HM斜率k=1时，HN斜率-1；当HM斜率k=
时，HN斜率3+ 5 2
；当HM斜率k=-3+ 5 2
时，HN斜率3- 5 2
，-3- 5 2
综上述，符合条件的三角形有3个．