问题
解答题
已知F1，F2分别为椭圆
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设=λ，若λ∈[2，3]，求
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答案
（Ⅰ）设M（x，y），则D（-1，y），由中垂线的性质知|MD|=|MF2|
∴|x+1|=
化简得C的方程为y2=4x（3分）(x-1)2+y2
（另：由|MD|=|MF2|知曲线C是以x轴为对称轴，以F2为焦点，以l1为准线的抛物线
所以，
=1，则动点M的轨迹C的方程为y2=4x）p 2
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由F1P=
知λ•F1Q
①x1+1=λ(x2+1) y1=λ y2
又由P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线C上知
，②y12=4x1 y22=4x2
由①②解得x1=λ x2= 1 λ
所以有x1x2=1，y1y2=4（8分）
F2P•
=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-x1-x2+1+y1y2=6-(λ+F2Q
)（10分）1 λ
设u=λ+
，有u′=(λ+1 λ
)′=1-1 λ
＞0 ⇒ u=λ+1 λ2
在区间[2，3]上是增函数，1 λ
得
≤λ+5 2
≤1 λ
，进而有10 3
≤6-(λ+8 3
)≤1 λ
，7 2
所以，F2P•
的取值范围是[F2Q
，8 3
]（13分）7 2
