已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m=(sinA，sin

问题解答题

已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量

=(sinA，sinB)，

=(cosB，cosA)，且

•

=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且

•

=18，求边c的长．

答案

（1）∵

=（sinA，sinB），

=（cosB，cosA），

∴

•

=sin2C，即sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosC，

∵sinC≠0，

∴cosC=

，

∵C为三角形内角，

∴C=

；

（2）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，

∴2sinC=sinA+sinB，

利用正弦定理化简得：2c=a+b，

∵

•

=18，

∴abcosC=

ab=18，即ab=36，

由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，

将a+b=2c，ab=36代入得：c²=4c²-108，即c²=36，

解得：c=6．