问题
解答题
已知点P为圆x2+y2=4上的动点，且P不在x轴上，PD⊥x轴，垂足为D，线段PD中点Q的轨迹为曲线C，过定点M（t，0）（0＜t＜2）任作一条与y轴不垂直的直线l，它与曲线C交于A、B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）试证明：在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分．
答案
（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，则点P（x，2y）在圆x2+y2=4上，
∴x2+4y2=4，曲线C的方程为
+y2=1(y≠0)．（2分）x2 4
（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，（3分）
代入曲线C的方程
+y2=1，可得（s2+4）y2+2tsy+t2-4=0，（5分）x2 4
∵0＜t＜2，∴△=（2ts）2-4（s2+4）（t2-4）=16（s2+4-t2）＞0，
∴直线l与曲线C总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆C的内部得到此结论）（6分）
设点A，B的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），
则y1+y2=
，y1y2=-2ts s2+4
，t2-4 s2+4
要使∠ANB被x轴平分，只要kAN+kBN=0，（9分）
即
+y1 x1-n
=0，y1（x2-n）+y2（x1-n）=0，（10分）y2 x2-n
也就是y1（sy2+t-n）+y2（sy1+t-n）=0，2sy1y2+（t-n）（y1+y2）=0，
即2s•
+(t-n)•t2-4 s2+4
=0，即只要（nt-4）s=0（12分）(-2ts) s2+4
当n=
时，（*）对任意的s都成立，从而∠ANB总能被x轴平分．（13分）4 t
所以在x轴上存在定点N(
，0)，使得∠ANB总能被x轴平分．（14分）4 t