问题
解答题
设A（-2，0），B（2，0），M为平面上任一点，若|MA|+|MB|为定值，且cosAMB的最小值为-
（1）求M点轨迹C的方程； （2）过点N（3，0）的直线l与轨迹C及单位圆x2+y2=1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|=|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论． |
答案
（1）设M（x，y），
∵在△AMB中，AB=4，|MA|+|MB|是定值；
可设|MA|+|MB|=2a（a＞0）．
∴cosAMB═(|MA|+|MB|)2-2|MA||MB|-16 2|MA||MB|
=
-1．（3分）4a2-16 2|MA||MB|
而|MA|+|MB|≥2
，|MA|•|MB|
∴|MA|•|MB|≤a2．
∴
-1≥4a2-16 2|MA||MB|
-14a2-16 2a2
．∵cosAMB最小值为-
，1 3
∴-1=-
．∴a=1 3
．（6分）6
∴|MA|+|MB|=2
＞|AB|．6
∴M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a=
，c=2．6
∴b2=a2-c2=2．∴曲线C的方程是
+x2 6
=1．（8分）y2 2
（2）设直线l的方程是y=k（x-3）．
1°当k=0时，显然有|PQ|=|RS|；此时l的方程是y=0．
2°当k≠0时，∵|PQ|=|RS|，∴PS与RQ的中点重合，设中点为G，则OG⊥PS．
由
，
+x2 6
=1y2 2 y=k(x-3)
得（1+3k2）x2-18k2x+27k2-6=0．（11分）
设P（x1，y1），S（x2，y2），
则x1+x2=
，y1+y2=k（x1-3）+k（x2-3）=18k2 1+3k2
．-6k 1+3k2
∴G（
，9k2 1+3k2
）．-3k 1+3k2
∴
×k=-1无解，此时l不存在，-3k 1+3k2 9k2 1+3k2
综上，存在一条直线l：y=0满足条件．（16分）