问题
解答题
已知点（x，y）在椭圆C：
（Ⅰ）求点(
（Ⅱ）若把轨迹C1的方程表达式记为y=f（x），且在(0，
|
答案
（Ⅰ）设点（x0，y0）是轨迹C1上的动点，∴
（2分）x0= y x y0=xy.
∴x0y0=y2，
=x2．y0 x0
∵点（x，y）在椭圆C：
+x2 a2
=1（a＞b＞0）的第一象限上运动，则x0＞0，y0＞0．y2 b2
∴
+y0 a2x0
=1．x0y0 b2
故所求的轨迹C1方程是
+y a2x
=1（x＞0，y＞0）．（6分）xy b2
（Ⅱ）由轨迹C1方程是
+y a2x
=1（x＞0，y＞0），得y=xy b2
（x＞0）．a2b2x b2+a2x2
∴f(x)=
=a2b2x b2+a2x2
≤a2b2
+a2xb2 x
=a2b2 2
•a2xb2 x
．ab 2
所以，当且仅当
=a2x，即x=b2 x
时，f（x）有最大值．（10分）b a
如果在开区间(0，
)内y=f（x）有最大值，只有3 3
＜b a
．（12分）3 3
此时，
＜b2 a2
⇒1 3
＜a2-c2 a2
，解得1 3
＜e＜1．6 3
∴椭圆C的离心率的取值范围是(
， 1)．（14分）6 3