问题
解答题
已知以C（2，0）为圆心的圆C和两条射线y=±x，（x≥0）都相切，设动直线L与圆C相切，并交两条射线于A、B，求线段AB中点M的轨迹方程．
答案
设直线L的方程为y=kx+b．A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），
由
得A（y=x y=kx+b
，b 1-k
），（k≠1）b 1-k
由
得B（y=-x y=kx+b
，-b 1+k
），b 1+k
∴x=
=x1+x2 2
…① kb 1-k2 y=
=y1+y2 2
…②b 1-k2
由①②得：k=
，b=x y
③y2-x2 y
∵圆C与y=±x都相切
∴圆C的半径r=
．2
∵AB：kx-y+b=0与圆C相切，
∴
=|2k+b| k2+1
，即2k2+4kb+b2-=0 ④2
将③代入④（y2-x2）+4x（y2-x2）-2（y2-x2）=0
∵y2≠x2，∴y2-x2+4x-2=0即（x-2）2-y2=2．（y≠0）
当L⊥x轴时，线段AB的中点M（2±
，0）也符合上面的方程，其轨迹在∠AOB内．2