问题
解答题
已知双曲线x2-y2=2
（1）求以M（3，1）为中点的弦所在的直线的方程
（2）求过M（3，1）的弦的中点的轨迹方程．
答案
（1）设以M（3，1）为中点的双曲线的弦BC，B（x1，y1），C（x2，y2），则x12-y12=1①，x22-y22=1②
①-②可得（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0
∵M（3，1）为BC的中点
∴6（x1-x2）-2（y1-y2）=0，BC的斜率为：
∴
=3y1-y2 x1-x2
∴以A（3，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8
代入双曲线方程可得3x2-6x+8=0，此时△＜0，即所求直线不存在
为：3x-y-8=0
（2）设直线方程为y-1=kx-3k，
把它代入x2-y2=1，
整理得（k2+1）x2+（6k2-2k）x+6k-9k2-2=0．
因为（3，1）在双曲线内部，所以直线和双曲线有两个不同交点，
设直线与双曲线两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），中点坐标为C（x，y），则
x=
=x1+x2 2
=6k2-2k 2k2+2
，3k2-k k2+1
y=kx-3k+1．k=y-1 x-3
消去k得x=
，3(
)2-y-1 x-3 y-1 x-3 (
)2+1y-1 x-3
可得：x2-y2-3x+y=0，这就是所求轨迹方程．