已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=Cn

问题解答题

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]

（1）试用n，k表示：F（1），F（0）

（2）证明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

答案

（1）f_k（1）=（n-k+1），f_k（0）=0

F（1）=C_n°f₀（1）+C_n¹f₁（1）+…+C_n^kf_k（1）+…+C_nⁿf_n（1）

=C_n°（n+1）+C_n¹（n）+…+C_n^k （n-k+1）+…+C_nⁿ×1，①

把F（1）倒序书写可得

F（1）=C_nⁿ×1+

n-1n

×2+…+

n-kn

（k+1）+…+C_n¹（n）+C_n°（n+1），②

把①和②相加可得2F（1）=（n+2）（ C_n°+C_n¹+…+C_n^k+…+C_nⁿ）=（n+2）2ⁿ，

故F（1）=（n+2）2^n-1．

F（0）=C_n°f₀（0）+C_n¹f₁（0）+…+C_n^kf_k（0）+…+C_nⁿf_n（0）=0．

（2）证明：F（1）-F（0）=（n+2）2^n-1-0≤（n+2）2^n-1，故不等式成立．