（文科）点M是圆x2+y2=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足

问题解答题

（文科）点M是圆x²+y²=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P为线段MD的中点．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，若直线l：y=-ex+m（其中e为曲线C的离心率）与曲线C有两个不同的交点A与B且

•

=2（其中O为坐标原点），求m的值．

答案

（1）由题意，令P（x，y），

则由中点坐标公式知：D（x，0），M（x，2y），

∵点M是圆x²+y²=4上的一个动点，

∴点P的轨迹方程为x²+4y²=4．

（2）由（1）点P的轨迹是椭圆x²+4y²=4，

∴e=

．

∵直线l：y=-

x+m与曲线C：x²+4y²=4有两个不同的交点A与B，

∴

y=-

x+m

x2+4y2=4

⇒x2-

mx+m2-1=0有两个解，

∴△=-m²+4＞0，∴-2＜m＜2．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

m，x₁x₂=m²-1，

∵

•

=2（其中O为坐标原点），

∴x₁x₂+y₁y₂=2，

∴5m²=7，∴m=±

．