已知P为曲线E上的任意一点，F1（-1，0），F2（1，0），且|PF1|+|P

问题解答题

已知P为曲线E上的任意一点，F₁（-1，0），F₂（1，0），且|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．

（1）求曲线E的方程；

（2）若点P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△F₂F₁P的面积．

答案

（1）∵F₁（-1，0），F₂（1，0），

∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4．

因此，曲线E表示以F₁、F₂为焦点，长轴2a=4的椭圆，c=1，b²=a²-c²=3

∴曲线E的方程为

（2）∵△F₂F₁P中，∠F₂F₁P=120°，F₁F₂=2

∴根据余弦定理，得|PF₂|²=|PF₁|²+|F₁F₂|²-2|PF₁||F₁F₂|cos120°，

化简得|PF₁|²-|PF₂|²+2|PF₁|+4=0…①

又∵|PF₁|+|PF₂|=4，得∴②代入①，得|PF₁|=

根据正弦定理，可得△F₂F₁P的面积S=

|PF₁||F₁F₂|sin120°=

．