问题
解答题
已知f(x)=
（1）用单调性定义证明：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数． （2）函数y=f（x）在区间[1，3]上的值域为A，求函数y=4x-2x+1（x∈A）的最大值和最小值． |
答案
（1）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=
-3x1-6 x1
=3x2-6 x2
，6(x1-x2) x1x2
∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，∴
＜0，6(x1-x2) x1x2
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）y=f（x）在[1，3]上是增函数，则在区间[1，3]上
当x=1时，y=f（x）有最小值-3，当x=3时，y=f（x）有最大值1，故A=[-3，1]．
y=4x-2x+1=（2x）2-2•2x
令t=2x，由A=[-3，1]，得t∈[
，2]，1 8
则 y=t2-2t，t∈[
，2]，1 8
当t=1，即x=0时，y有最小值-1；
当t=2，即x=1时，y有最大值0．
