已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为33，直线l：x-y

问题解答题

已知椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，直线l：x-y+

=0与椭圆C₁相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直与椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）若A（x₁，2），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）是C₂上不同的点，且AB⊥BC，求实数y₀的取值范围．

答案

（1）因为e=

，所以，a=

c，b=

c，椭圆 C₁的方程可设为

3c2

2c2

=1，

与直线方程 x-y+

=0 联立，消去y，可得 5x²+6

x+15-6c²=0，

因为直线与椭圆相切，所以，△=(6

)2-4×5(15-6c2)=0，

又因为c＞0，所以 c=1，所以，椭圆 C₁的方程为

=1．

（2）由题意可知，PM=MF₂，又PM为点M到直线l₁ 的距离，

所以，点M到直线l₁的距离与到点 F₂的距离相等，

即点M的轨迹C₂ 是以直线 l₁ 为准线，点F₂为焦点的抛物线，

因为直线l₁的方程为X=-1，点P的坐标为（1，0），所以，点M的轨迹C₂ 的方程为 y²=4x．

（3）由题意可知A点坐标为（1，2）．因为AB⊥BC，所以，

•

=0，

即（x₂-1，y₂-1）•（x₀-x₂，y₀-y₂ ）=0，又因为 x2=

y22，x0=

y02，

所以，

（y₂²-4 ）（y₀²-y₂² ）+（y₂-2 ）（y₀-y₂ ）=0，

因为 y₂≠2，y₂≠y₀，所以，

(y2+2)(y0+y2)+1=0，

整理可得：y₂²+（2+y₀ ）y₂+（2y₀+16）=0，关于 y₂ 的方程有不为2的解，所以

△=（2+y₀）²-4（2y₀+16）≥0，且 y₀≠-6，

所以，y₀²-4y₀-60≥0，且y₀≠-6，解得 y₀ 的取值范围为 y₀＜-6，或 y₀≥10．