问题
解答题
已知M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：||PM|-|PN||=2．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）记点P的轨迹为曲线C，过点N作方向向量为（-1，-1）的直线l，它与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
答案
（1）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线．
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=
，3
所以双曲线的方程为x2-
=1y2 3
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵直线l方向向量为（-1，-1），
∴直线l的斜率k=1
故直线l的方程为：y=x-2
联立直线l与曲线C的方程y=x-2 x2-
=1y2 3
可得：2x2+4x-7=0
∴x1+x2=-2，x1x2=-7 2
于是|AB|=
×1+k2
=6(x1+x2)2-4x1x2
又O点到直线l的距离为：d=
=|-2| 2 2
∴S△AOB=
d×|AB|=31 2 2