问题
解答题
已知圆A：（x+2）2+y2=32，圆P过定点B（2，0）且与圆A内切．
（1）求圆心P的轨迹方程C；
（2）过Q（0，3）作直线l交P的轨迹C于M、N两点，O为原点．当△MON面积最大时，求此时直线l的斜率．
答案
（1）由题意，两圆相内切，故|PA|=4
-|PB|，即|PA|+|PB|=42
．2
又∵AB=4＜42
∴动圆的圆心P的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为4
的椭圆．2
动点P的轨迹方程为
+x2 8
=1．y2 4
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），l：x=m（y-3），直线与x轴的交点为A（-3m，0）
S△MON=
|OA|•|y1-y2|1 2
把x=m（y-3），代入椭圆方程，得m2（y-3）2+2y2-8=0，
即（m2+2）y2-6m2y-8+9m2=0，△=64-40m2＞0，⇒m2＜8 5
y1+y2=
，y1y2=6m2 m2+2
，9m2-8 m2+2
|y1-y2|=
=(
)2-4×6m2 m2+2 9m2-8 m2+2 64-40m2 m2+2
∴S△AOB=
|3m|1 2
=364-40m2 m2+2
=316m2-10m4 (m2+2)2
，令t=-10+
-56 m2+2 72 (m2+2)2
，1 m2+2
所以S△AOB=3
≤2-72t2+56t-10
，当t=3
时，即m2=7 18
＜4 7
时面积取得最大值．8 5
此时直线的斜率为：
=±1 m
．7 2