问题
单项选择题
设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则[ ]
A．0＜dy＜△y．
B．0＜△y＜dy．
C．△y＜dy＜0．
D．dy＜△y＜0．
答案
参考答案：A
解析：方法1 dy=f'(x0)△x＞0．再由定理2.1.4，[*]所以△y＞dy＞0．选(A)．
方法2 排斥法，f(x)=x2，x＞0，有f'(x)＞0，f"(x)＞0．dy=2x△x，△y=(x+△x)2-x2=2x△x+(△x)2＞2x△x=dy＞0，所以(B)、(C)、(D)均不对，选(A)．
方法3 用两次拉格朗日中值公式，有
△y-dy=f(x0+△x)-f(x0)-f'(x0)△x
=f'(ξ)△x-f'(x0)Δx=(f'(ξ)-f'(x0))Δx
=f"(ξ1)(ξ-x0)Δx，
其中x0＜ξ＜x0+Δx，x0＜ξ1＜ξ，Δx＞0，从而推知
Δy＞dy＞0．选(A)．