问题
单项选择题
设f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：[ ]
答案
参考答案：D
解析：[*]
(A)正确．
将f(x)+f(-x)看作(A)中的f(x)，于是推知
f(0)+f(-0)=f(0)+f(0)=0，
所以f(0)=0．(B)正确．
在(C)的条件下，已推得f(0)=0，从而
[*]
所以(C)正确．
所以只有(D)不正确，选(D)．
也可直接举反例说明(D)不正确，反例：f(x)=|x|，
[*]
但f(x)=|x|在x=0处不可导．
[评注] (1)将(A)、(C)两条合并，可以写成下述结论：设f(x)在x=0处连续且[*]则f(0)=0，f'(0)存在且等于A．在做选择题时可直接拿来用．“条件f(x)在x=0处连续”不能省，不然只能推出[*]
(2)有人按照下述步骤来“证明”(D)也“正确”：将(D)中的f(x)-f(-x)看成(C)中的f(x)，由(C)推知
[f(x)-f(-x)]'x=0=A， (2.5)
于是
f'(x)|x=0+f'(-x)|x=0=A， (2.6)
从而f'(0)+f'(-0)=A，[*]
错在从式(2.5)推不出式(2.6)，和的导数存在推不出两项的导数分别存在．
(3)有人按照下述步骤来“证明”(D)“正确”：
[*]
[*]由洛必达法则，有
[*]
所以[*]
①、②、③三步都是错的，题中未设f(x)-f(-x)在x=0的去心邻域可导，①这步不能用洛必达法则．在未设f'(x)与f'(-x)分别存在的条件下，②这步不成立．未设f'(x)在x=0处连续，③这步不成立．那么多步骤有问题，你可察觉到了