（1）设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x得y²-4ty-4b=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂=b²-4b

令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2．

∴直线l过定点（2，0）．

（2）设线段AB的中点M（x，y），

∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在曲线y²=4x上

∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂

两式作差得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=4（x₂-x₁）

即

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=k

则

y= y1+y2 2 = 2 k y=k(x-2)

…（12分）

∴线段AB的中点M的轨迹方程  y²=2（x-2）…（14分）