问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=
（1）若f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性； （2）若方程g（x）=x有两个不等的实根x1，x2（x1＜x2），则 ①试判断函数f（x）在区间（-1，1）上是否具有单调性，并说明理由； ②若方程f（x）=0的两实根为x3，x4（x3＜x4），求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴bx=0，∴b=0
∴g(x)=-
，∴函数g（x）为奇函数；（4分）1 a2x
（2）①由g(x)=
=x得方程a2x2+bx+1=0（*）有不等实根bx-1 a2x+2b
∴△=b2-4a2＞0及a≠0得|
|＞1即-b 2a
＜-1或-b 2a
＞1（7分）b 2a
又f（x）的对称轴x=-
∉(-1，1)b 2a
故f（x）在（-1，1）上是单调函数（10分）
②x1，x2是方程（*）的根，∴a2x12+bx1+1=0
∴bx1=-a2x12-1，同理bx2=-a2x22-1
∴f（x1）=ax12+bx1+1=ax12-a2x12=（a-a2）x12
同理f（x2）=（a-a2）x22
要使x3＜x1＜x2＜x4，只需
即a＞0 f(x1)＜0 f(x2)＜0
，∴a＞1a＞0 a-a2＜0
或
即a＜0 f(x1)＞0 f(x2)＞0
，解集为φa＜0 a-a2＞0
故a的取值范围a＞1（16分）