问题 解答题
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和函数g(x)=
bx-1
a2x+2b

(1)若f(x)为偶函数,试判断g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有两个不等的实根x1,x2(x1<x2),则
①试判断函数f(x)在区间(-1,1)上是否具有单调性,并说明理由;
②若方程f(x)=0的两实根为x3,x4(x3<x4),求使x3<x1<x2<x4成立的a的取值范围.
答案

(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴bx=0,∴b=0

g(x)=-

1
a2x
,∴函数g(x)为奇函数;(4分)

(2)①由g(x)=

bx-1
a2x+2b
=x得方程a2x2+bx+1=0(*)有不等实根

∴△=b2-4a2>0及a≠0得|

b
2a
|>1即-
b
2a
<-1或-
b
2a
>1
(7分)

又f(x)的对称轴x=-

b
2a
∉(-1,1)

故f(x)在(-1,1)上是单调函数(10分)

②x1,x2是方程(*)的根,∴a2x12+bx1+1=0

∴bx1=-a2x12-1,同理bx2=-a2x22-1

∴f(x1)=ax12+bx1+1=ax12-a2x12=(a-a2)x12

同理f(x2)=(a-a2)x22

要使x3<x1<x2<x4,只需

a>0
f(x1)<0
f(x2)<0
a>0
a-a2<0
,∴a>1

a<0
f(x1)>0
f(x2)>0
a<0
a-a2>0
,解集为φ

故a的取值范围a>1(16分)

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