（1）依题意，由a²+b²=4，

得双曲线方程为

x2

a2

-

y2

4-a2

=1（0＜a²＜4），

将点（3，

7

）代入上式，得

9

a2

-

7

4-a2

=1．

解得a²=18（舍去）或a²=2，

故所求双曲线方程为

x2

2

-

y2

2

=1．…（4分）

（2）设M（x，y），

∵点M满足

QM

=

MP

，

∴M为线段PQ的中点，

∵Q （0，2），

∴P（2x，2y-2），…（6分）

把点P（2x，2y-2）代入双曲线方程为

x2

2

-

y2

2

=1，

得动点M的轨迹方程：2x²-2（y-1）²=1．…．（8分）

（3）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，

代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k²）x²-4kx-6=0．

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

，

∴k∈（-

3

，-1）∪（1，

3

）．…（10分）

设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），

则由①式得x₁+x₂=

4k

1-k2

，x₁x₂=-

6

1-k2

，

于是|EF|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

，

而原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

，

∴S_△OEF=

1

2

d•|EF|

=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．…（13分）

若S_△OEF=2

2

，

即

2 2 3-k2

|1-k2|

=2

2

，

∴k⁴-k²-2=0，

解得k=±

2

，

满足②．故满足条件的直线l有两条，

其方程分别为y=

2

x+2和y=-

2

x+2．…（16分）