问题 解答题
设minA表示数集A中的最小数;设maxA表示数集A中的最大数.
(1)若a,b>0,h=min{a,
b
a2+b2
}
,求证:h≤
2
2

(2)若H=max{
1
a
a2+b2
ab
1
b
}
,求H的最小值.
答案

(1)证明:∵h=min{a,

b
a2+b2
},

∴0<h≤a,0<h≤

b
a2+b2

h2≤a•

b
a2+b2
=
ab
a2+b2
ab
2ab
=
1
2

h≤

2
2
.--------(4分)

(2)∵H=max{

1
a
a2+b2
ab
1
b
}

H≥

1
a
>0,H≥
a2+b2
ab
>0
H≥
1
b
>0

H3

1
a
a2+b2
ab
1
b
=
a2+b2
ab
2ab
ab
=2

当且仅当a=b时取等号

H≥

32
.    

所以H的最小值为

32
---------(10分)

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