问题 选择题

将Rt△ABC沿直角的角平分线CD折成直二面角(平面ACD⊥平面BCD),则∠ACB的度数是(  )

A.90°

B.60°

C.45°

D.由直角边的长短决定

答案

过B作BE⊥CD,由题意得到BE⊥平面ACD,

∴BE⊥AE,连接AB,可得△ABE为直角三角形,

∵折叠前,CD为∠ACB的角平分线,

∴∠BCE=∠ACE=45°,

设AC=b,BC=a,在△BCE中,BE=CE=

2
2
a,

在△ACE中,由余弦定理得:AE2=b2+(

2
2
a)2-2b•
2
2
a•cos45°=
1
2
a2+b2-ab,

根据勾股定理得:AB2=BE2+AE2=a2+b2-ab,

在△ABC中,由余弦定理得:AB2=a2+b2-2abcos∠ACB=a2+b2-ab,

∴cos∠ACB=

1
2
,∠ACB为锐角,

则∠ACB=60°.

故选B

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