问题
解答题
△ABC中
（1）已知2B=A+C，b=1，求a+c的范围
（2）已知2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，且sinB+sinC=1，判断△ABC的形状．
答案
（1）∵△ABC中，2B=A+C，
∴A+B+C=π，即B=
，π 3
∵b=1，∴由正弦定理得：2R=
=b sinB
=1 3 2
，2 3 3
∵A+C=
，即C=2π 3
-A，2π 3
∴a+c=2RsinA+2RsinC=2R（sinA+sinC）=
[sinA+sin（4 3 3
-A）]=2π 3
2sin4 3 3
cos（A-π 3
）=4cos（A-π 3
），π 3
∵0＜A＜
，∴-2π 3
＜A-π 3
＜π 3
，π 3
∴
＜cos（A-1 2
）＜1，即2＜4cos（A-π 3
）＜4，π 3
则a+c的范围是（2，4）；
（2）已知等式利用正弦定理化简得：2a2=b（2b+c）+c（2c+b），即b2+c2-a2=-bc，
∴cosA=
=b2+c2-a2 2bc
=--bc 2bc
，1 2
∵A为三角形内角，∴A=120°，即B+C=60°，
∴sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=2sin30°cos（B-30°）=cos（B-30°）=1，
∴B-30°=0，即B=30°，
则△ABC为等腰三角形．