问题
单项选择题
设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示．则对任意常数k，必有______．
A．α1，α2，α1，kβ1+β2线性无关
B．α1，α2，α1，kβ1+β2线性相关
C．α1，α2，α1，β1+kβ2线性无关
D．α1，α2，α1，β1+kβ2线性相关
答案
参考答案：A
解析：[考点提示] 线性相关与线性无关．
[解题分析] 由题设，β1可由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β1线性相关，在C中取k=0，则可看出C不正确．又由β2不能由α1，α2，α3线性表示且α1，α2，α3线性无关，知α1，α2，α3，β2线性无关，在B中取k=0，可看出B不正确．关于A，矩阵(α1，α2，α3，kβ1+β2)可通过初等列变换化为(α1，α2，α3，β2)，则该矩阵秩为4，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，所以A正确．关于D，同样可将矩阵(α1，α2，α3，β1+kβ2)化为(α1，α2，α3,kβ2)，当k=0时，矩阵的秩为3，则α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．当k≠0时矩阵秩为4，此时α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．所以D不正确．综上，应选A．