（1）由动点C满足

NC

=t

NM

，知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，

又因为直线MN的方程为x-y-4=0

∴点C的轨迹方程为x-y-4=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由

x-y-4=0 y2=4x

得：

x²-12x+16=0

∴x₁•x₂=16，x₁+x₂=12

又y₁•y₂=（x₁-4）•（x₂-4）=-16

∴x₁•x₂+y₁•y₂=0

∴

OA

⊥

OB

；

（2）假设存在P（m，0）（m≠0），使得过点P的直线l交抛物线y²=4x 于D，E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点，

由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为：x=ky+m，

代入 y²=4x 得 y²-4ky-4m=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）

∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．

若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x₁x₂+y₁y₂=0．

即

y 21

4

+

y 22

4

+y1y2=m²-4m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4．

∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．

设弦D，E的中点为M（x，y） 

则x=

1

2

（x₁+x₂），y=

1

2

（ y₁+y₂）=2k，

x₁+x₂=ky₁+4+ky₂+4=k（y₁+y₂）+8=4k²+8，

∴x=2k²+4，y=2k，

∴消去k得弦D，E的中点M的轨迹方程为：y²=2x-8．

∴圆心的轨迹方程为y²=2x-8．