问题 解答题
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3),N(5,1),若动点C满足
NC
=t
NM
且点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A,B两点.
(1)求证:
OA
OB

(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m≠0),使得过点P的直线l交抛物线y2=4x于D,E两点,并以线段DE为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心M的轨迹方程;若不存在,请说明理由.
答案

(1)由动点C满足

NC
=t
NM
,知点C的轨迹是M、N两点所在的直线,

又因为直线MN的方程为x-y-4=0

∴点C的轨迹方程为x-y-4=0

设A(x1,y1),B(x2,y2

x-y-4=0
y2=4x
得:

x2-12x+16=0

∴x1•x2=16,x1+x2=12

又y1•y2=(x1-4)•(x2-4)=-16

∴x1•x2+y1•y2=0

OA
OB

(2)假设存在P(m,0)(m≠0),使得过点P的直线l交抛物线y2=4x 于D,E两点,并以线段DE为直径的圆都过原点,

由题意知:弦所在的直线的斜率不为零.故设弦所在的直线方程为:x=ky+m,

代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0,设D(x1,y1),E(x2,y2

∴y1+y2=4k,y1y2=-4m.

若以弦DE为直径的圆都过原点,则OD⊥OE,∴x1x2+y1y2=0.

y21
4
+
y22
4
+y1y2=m2-4m,解得m=0 (不合题意,舍去)或 m=4.

∴存在点P(4,0),使得过P点任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点.

设弦D,E的中点为M(x,y) 

则x=

1
2
(x1+x2),y=
1
2
( y1+y2)=2k,

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=4k2+8,

∴x=2k2+4,y=2k,

∴消去k得弦D,E的中点M的轨迹方程为:y2=2x-8.

∴圆心的轨迹方程为y2=2x-8.

阅读理解与欣赏

阅读下面的文字,完成后面题目。(15分)

渐行渐远的自行车

杨树荫

(1)清晨,太阳正在升起。

(2)整洁的街道,幽雅宁静。粗壮的梧桐树,枝叶茂密,偶尔一阵凉风,让人神清气爽。

(3)里弄,小巷,胡同口,一辆一辆的自行车,响着清脆的铃声,鱼贯而出,在宽阔的大街上,汇聚成浩荡的车流,来来往往,时有分流,又不断地合流。

(4)城市苏醒了,新的一天开始了。

(5)这是上个世纪七八十年代,在中国各处都能见到的城市图景。只是这幅图景,已恍惚成了遥远的过去。如今的街道,早已是另一番景象。

(6)二十世纪五六十年代,自行车进入寻常百姓家。上海产的“永久”牌、“凤凰”牌自行车,天津产的“飞鸽”牌自行车,轻盈简洁,是浩浩荡荡的自行车王国里的主力军,中国人踏着自行车开始了自己的人生之路。

(7)自行车,作为交通工具,在中国竟有着长久不变的形态。首先是价格不变,从二十世纪六七十年代的凭票供应,到八九十年代的随处可买、随时能买,自行车的价格始终在100多元一辆,普通的工薪阶层买得起;其次,外形也不变,它的构造始终是一个车身、两只轮子,“操纵在两足之间”,只要凭着自己的力气,便能轮转车行。

(8)自行车以自己的朴素、朴实,遍布城乡,中国人离不开自行车,自行车也一无所求地任人使用。车轮滚滚,竟然滚出了一个自行车文化。

(9)自行车不疾不徐,正是其奥妙所在。疾者,即与凶险同行,一旦失控,便会头破血流;徐者,即无法行进,也会车弯人倒。不疾不徐,循势而进,这是自行车的前进方式,其实也是做人的前进方式。世间之事,快不得,慢不得,不疾不徐之为上。

(10)自行车唯力而行,这又是其魅力所在。自行车的速度是人踩踏出来的,脚踏轮转,一分脚劲方有一分速度。人踏着车,争到了速度,却也造就了人的体能与毅力。物质社会,既要借助物质,又要唯力而行,尽力而为,此是人在物质世界的存亡之道。

(11)自行车谦卑处世,这更是它的品德所在。它不横冲直撞,不强凶霸道;无论大路、小路、田间的路,只要有路,它都能依路而行;它卑微而立,在大千世界,只需微薄的一席之地;它供人役使,却无所索求;它给人方便,却不污染人间;它简洁朴实,没有贫富的差距,让骑车人心态平和。

(12)自行车是人们漫长岁月的坚守者,艰难行程的助推器,它陪伴中国人缓慢却不停顿地从贫困通往富裕,直到汽车进入普通人家。而今,自行车竟然淡出了中国人的视野,渐渐地远去。

(13)中国人已经不会安于自行车的速度,也不看重自行车的价值。汽车成为社会的新贵、新宠,铺天盖地,不可一世,并且很快取得了自行车从未享有过的地位:一条一条道路由它驰骋,一片一片空间由它占有。飞驶而来、绝尘而去的汽车,根本不会把自行车放在眼里。

(14)高速的公路,疾驰的汽车,凡是路,都被汽车所占。汽车又堵住了路,路堵、车堵、人心也堵。一心求快的中国人又不安于汽车的速度,磁悬浮速度、高铁速度,接连问世,震撼人心。中国人只想快,甚至想飞腾起来,总想走在世界的最前列。

(15)自行车,已然是交通工具中的弱者,它不断地被边缘、被贬值。一个视速度为强势的时代,自行车的命运可想而知。

(16)在技术进步的时代,我们不必为传统器具的衰落而悲哀,万物优胜劣汰,自有其客观的规律。与汽车相比,自行车的速度自然落后了许多。然而人世间,并非越快越好,倘若物质飞速地发展,而人的灵魂跟不上,岂不险乎?倘若人的灵魂、人的生命就得慢慢地行进,如此的快速,岂不悲乎?

(17)其实,世上并非都在追求速度,丹麦、挪威诸国,人均收入和现代化水平都居世界之前,可谓十足的富裕国家,却照例是自行车不少于汽车,也不弱于汽车。宽广的大街上,有专设的通道让自行车自由而行,还有专门的交通法规保护自行车。人们依旧喜爱自行车,依旧每天踏着自行车上下班,包括部长、市长和白领阶层。自行车不仅让他们骑出了一个洁净的天地,也骑出了一个体魄强健的民族。

(18)然而,我们已经上了快速的轨道,人们崇尚快,追求快,一切都想快,再也慢不下来了。

(19)渐渐远去的自行车,留下的只是遥远的记忆。

(《浙江日报》 2011年12月9日,有删改)

小题1:结合全文,说说(1)—(4)段对旧日清晨城市图景的描写有什么作用?(3分) 

小题2:文章第8段写到“车轮滚滚,竟然滚出了一个自行车文化”,请联系全文概括“自行车文化”的主要内涵。(4分)

小题3:赏析文章第13段画线的句子。(4分)

小题4:“渐行渐远的自行车”带给你哪些思考?请结合作品谈谈你的看法。(4分)

单项选择题 A1/A2型题