（1）由平几知识得：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=

2

3

＞|AB|=

4

3

∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线（部分）

设它的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(x＞a)，则

2a= 2 3 2c= 4 3 c2=a2+b2

解得：

a2= 1 9 b2= 1 3

，故所求的方程为

x2

1 9

-

y2

1 3

=1(x＞

1

3

)

（2）设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于是Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），

∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B

∴由双曲线定义知|Q₁Q₂|=e(x1+x2-

1

3

)=2(x1+x2-

1

3

)=2

∴x₁+x₂=

4

3

若m=0，则x₁=x₂=

2

3

，此时x1+x2=

4

3

，即|Q₁Q₂|=2合题意若m≠0，由

3x-3my-2=0 9x2-3y2=1

，消去y得：9x2-3(

2

3m

-

1

m

x)2=1，

化简得：（27m²-9）x²+12x-3m²-4=0，x₁+x₂=

12

9-27m2

=

4

3

解得m=0与m≠0矛盾．

∴m=0

（3）当x=

2

3

时，|BP|=1，|BC|=1，此时∠PCB=45°，∠PBC=90°

猜想λ=2

当x≠

2

3

时，设P（x，y）则{y^2}=-3(

1

9

-x2)，且tan∠PCB=

y

x+ 1 3

∴tan2∠PCB=

2•( y x+ 1 3 )

1- y2 (x+ 1 3 )2

=

2y(x+ 1 3 )

(x+ 1 3 )2-y2

=

2y(x+ 1 3 )

(x+ 1 3 )2+3( 1 9 -x2)

=

2y

4 3 -2x

=

y

2 3 -x

而tan∠PBC=-tan∠PBx=

y

x- 2 3

=

y

2 3 -x

∴tan2∠PCB=tan∠PBC

又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π

∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2，使得：∠PBC=λ∠PCB