已知两定点F1(-
(1)求曲线C的方程; (2)求直线AB的方程; (3)若曲线C上存在一点D,使
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(1)由双曲线的定义可知曲线C是以F1(-
, 0),F2(2
, 0)为焦点的双曲线的左半支2
且c=
, 2a=2,a=1,故b=1,2
所以轨迹C的方程是x2-y2=1.(x<0)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得方程组
消去y得(1-k2)x2+4kx-5=0y=kx-2 x2-y2=1
又已知直线与曲线C交于A、B两点,故有1-k2≠0 △=(4k)2+20(1-k2)>0 x1+x2=
<0-4k 1-k2 x1x2=
>0-5 1-k2
解得-
<k<-15
∵|AB| =
|x2-x1| =1+k2
• 1+k2 (
)2+4 • -4k 1-k2 5 1-k2
=2
=(1+k2)(5-k2) (1-k2)2 2 5 3
∴
=(1+k2)(5-k2) (1-k2)2 5 9
整理得,7k4-23k2-20=0
解得 k2=4 或 k2=-
(舍)5 7
由k2=4,得k=-2,(k=2舍)
于是直线AB的方程为y=-2x-2,即2x+y+2=0.
(3)由
,解得x2-y2=1 2x+y+2=0 x1=-1 y1=0 x2=- 5 3 y2= 4 3
不妨设
=(-1, 0), OA
=(-OB
, 5 3
),4 3
由
+OA
=mOB
,故有OD
=(-OD
, 8 3m
).4 3m
将D点坐标代入曲线C的方程,得
-64 9m2
=1.16 9m2
解得m=±
,4 3 3
但当m=-
时,点D在双曲线右支上,不合题意,4 3 3
∴m=4 3 3
点D的坐标为(-
, 2 3 3
),3 3
D到线AB的距离为
=|-
+4 3 3
+2|3 3 5
.2
-5 15 5