问题 解答题
已知两定点F1(-
2
,  0),F2(
2
,  0)
,满足条件|
PF2
|-|
PF1
| =2
的点P的轨迹是曲线C,直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点,且|AB| =
2
5
3

(1)求曲线C的方程;
(2)求直线AB的方程;
(3)若曲线C上存在一点D,使
OA
+
OB
=m
OD
,求m的值及点D到直线AB的距离.
答案

(1)由双曲线的定义可知曲线C是以F1(-

2
,  0),F2(
2
,  0)为焦点的双曲线的左半支

c=

2
,  2a=2,a=1,故b=1,

所以轨迹C的方程是x2-y2=1.(x<0)

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),

由题意得方程组

y=kx-2
x2-y2=1
消去y得(1-k2)x2+4kx-5=0

又已知直线与曲线C交于A、B两点,故有

1-k2≠0
△=(4k)2+20(1-k2)>0
x1+x2=
-4k
1-k2
<0
x1x2=
-5
1-k2
>0

解得-

5
<k<-1

|AB| =

1+k2
|x2-x1| =
1+k2
 • 
(
-4k
1-k2
)
2
+4 • 
5
1-k2

=2

(1+k2)(5-k2)
(1-k2)2
=
2
5
3

(1+k2)(5-k2)
(1-k2)2
=
5
9

整理得,7k4-23k2-20=0

解得 k2=4 或 k2=-

5
7
(舍)

由k2=4,得k=-2,(k=2舍)

于是直线AB的方程为y=-2x-2,即2x+y+2=0.

(3)由

x2-y2=1
2x+y+2=0
,解得
x1=-1
y1=0
   
x2=-
5
3
y2=
4
3

不妨设

OA
=(-1,  0),  
OB
=(-
5
3
,  
4
3
),

OA
+
OB
=m
OD
,故有
OD
=(-
8
3m
, 
4
3m
)

将D点坐标代入曲线C的方程,得

64
9m2
-
16
9m2
=1.

解得m=±

4
3
3

但当m=-

4
3
3
时,点D在双曲线右支上,不合题意,

m=

4
3
3

点D的坐标为(-

2
3
3
,  
3
3
),

D到线AB的距离为

|-
4
3
3
+
3
3
+2|
5
=
2
5
-
15
5

单项选择题
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