问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），M（x，-4）以线段PM为直径的圆经过原点O．
（1）求动点P的轨迹W的方程；
（2）过点E（0，-4）的直线l与轨迹W交于两点A，B，点A关于y轴的对称点为A′，试判断直线A′B是否恒过一定点，并证明你的结论．
答案
（1）由题意可得OP⊥OM，所以
•OP
=0，即（x，y）•（x，-4）=0OM
即x2-4y=0，即动点P的轨迹w的方程为x2=4y
（2）设直线l的方程为y=kx-4，A（x1，y1），B（x2，y2），则A′（-x1，y1）．
由
消y整理得x2-4kx+16=0y=kx-4 x2=4y
则x1+x2=4k，x1x2=16
直线A /B：y-y2=
(x-x2)y2-y1 x2+x1
∴y =
(x-x2)+y2y2-y1 x2+x1
∴y =
x+x2-x1 4 x1x2 4
即y =
x+4，所以，直线A′B恒过定点（0，4）．x2-x1 4