已知抛物线y2=4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，

问题解答题

已知抛物线y²=4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．

答案

设M（x₀，y₀），则k_OM=

，k_AB=-

，

直线AB方程是y=-

（x-x₀）+y₀．

由y²=4px可得x=

，将其代入上式，整理，得

x₀y²-（4py₀）y-4py₀²-4px₀²=0．①

此方程的两根y₁、y₂分别是A、B两点的纵坐标，∴A（

，y₁）、B（

y22

，y₂）．

∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-1．∴

•

=-1．∴y₁y₂=-16p²．

根据根与系数的关系，由①可得

y₁•y₂=

-4p(x02+y02)

，∴

-4p(x02+y02)

=16p²．

化简，得x₀²+y₀²-4px₀=0，

即x²+y²-4px=0（除去原点）为所求．

∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．

法二：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，

由OM⊥AB得k=-

．

由y²=4px及y=kx+b消去y，得

k²x²+x（2kb-4p）+b²=0．

所以x₁x₂=

．消去x，得ky²-4py+4pb=0．所以y₁y₂=

4pb

．由OA⊥OB，

得y₁y₂=-x₁x₂，所以

4pk

，b=-4kp．

故y=kx+b=k（x-4p）．用k=-

代入，得

x²+y²-4px=0（x≠0）．

∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．