已知动圆过定点A（2，0），且与直线X=-2相切．（1）求动圆圆心

问题解答题

已知动圆过定点A（2，0），且与直线X=-2相切．

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）是否存在过点（0，1）的直线l，与轨迹C交于P，Q两点，且以线段PQ为直径的圆过定点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答案

（1）由题意可知，圆心到定点A（2，0）的距离与到定直线X=-2的距离相等，

由抛物线定义可知，轨迹C为以A（2，0）为焦点，X=-2为准线的抛物线，

∴p=2，∴抛物线方程为y²=8x …（4分）

（2）假设存在直线l符合题意．…（5分）

由题意易知，直线l的斜率k存在且不为零，

又因过点（0，1），故设直线l的方程为y=kx+1，…（6分）

联立直线与抛物线方程得

y=kx+1

y2=8x

，消元整理得k²x²+（2k-8）x+1=0，

设交点坐标为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则△=（2k-8）²-4k²＞0，∴k＜2 ①

且x₁+x₂=-

2k-8

，x1x2=

； …（9分）

∴

•

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（k²+1）x₁x₂+（k-2）（x₁+x₂）+5

=(k2+1)•

+（k-2）•（-

2k-8

）+5=

4k2+12k-15

∴k=-

符合①，…（12分）

所以存在符合题意的直线l，其方程为y=（-

）x+1．…（13分）