问题
解答题
A，B是抛物线y2=4ax（a＞0）上的两动点，且OA⊥OB，OP⊥AB于P，求动点P的轨迹．
答案
设P（x0，y0），则kOP=
，kAB=-y0 x0
，直线AB方程是y=-x0 y0
（x-x0）+y0．x0 y0
由y2=4ax可得x=
，将其代入上式，整理得y2 4a
x0y2-（4ay0）y-4ay02-4ax02=0．①
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标．
根据韦达定理得，由①可得y1•y2=
，-4a(x02+y02) x0
又∵A、B在抛物线上，∴A（
，y1）、B（y12 4a
，y2）．y22 4a
∵OA⊥OB，∴kOA•kOB=-1．
∴
•4a y1
=-1．4a y2
∴y1y2=-16p2．
∴
=16p2．4a(x02+y02) x0
化简得x02+y02-4ax0=0，即x2+y2-4ax=0（除去原点）为所求．