问题 解答题
平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两定点A(1,0)、B(0,-1),动点P(x,y)满足:
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)

(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点P的轨迹与双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于相异两点M、N.若以MN为直径的圆经过原点,且双曲线C的离心率等于
3
,求双曲线C的方程.
答案

(1)∵

OP
=m
OA
+(m-1)
OB

∴(x,y)=m(1,0)+(m-1)(0,-1)

x=m
y=1-m
,∴x+y=1即点P的轨迹方程为x+y-1=0

(2)由

x+y=1
x2
a2
-
y2
b2
得:(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0

∵点P轨迹与双曲线C交于相异两点M、N,∴b2-a2≠0,

且△=4a4-4(b2-a2)(-a2-a2b2)>0(*)

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-

2a2
b2-a2
x1x2=-
a2+a2b2
b2-a2

∵以MN为直径的圆经过原点,∴

OM
ON
=0,

即:x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,即1+

2a2
b2-a2
-
2(a2+a2b2)
b2-a2
=0

即b2-a2-2a2b2=0①,∵e=

3
,∴e2=
a2+b2
a2
=3
,∴b2=2a2②.

∴由①、②解得a=

1
2
,b=
2
2
符合(*)式

∴双曲线C的方程为4x2-2y2=1.

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