问题
解答题
平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两定点A(1,0)、B(0,-1),动点P(x,y)满足:
(1)求点P的轨迹方程; (2)设点P的轨迹与双曲线C:
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答案
(1)∵
=mOP
+(m-1)OA
,OB
∴(x,y)=m(1,0)+(m-1)(0,-1)
∴
,∴x+y=1即点P的轨迹方程为x+y-1=0x=m y=1-m
(2)由
得:(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0x+y=1
-x2 a2 y2 b2
∵点P轨迹与双曲线C交于相异两点M、N,∴b2-a2≠0,
且△=4a4-4(b2-a2)(-a2-a2b2)>0(*)
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-
,x1x2=-2a2 b2-a2 a2+a2b2 b2-a2
∵以MN为直径的圆经过原点,∴
•OM
=0,ON
即:x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,即1+
-2a2 b2-a2
=02(a2+a2b2) b2-a2
即b2-a2-2a2b2=0①,∵e=
,∴e2=3
=3,∴b2=2a2②.a2+b2 a2
∴由①、②解得a=
,b=1 2
符合(*)式2 2
∴双曲线C的方程为4x2-2y2=1.