点P为圆O：x2+y2=a2（a＞0）上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若动直线l与曲线C交于A、B两点，当△OAB（O是坐标原点）面积取得最大值，且最大值为1时，求a的值．
（Ⅰ）设P（x0，y0），M（x，y），由
，得x=x0 y=
y01 2
，…（2分）x0=x y0=2y
代入x2+y2=a2，得
+x2 a2
=1．…（4分）y2 a2 4
（Ⅱ）①当l斜率不存在时，设x=t，由已知得-a＜t＜a，
由
，得y2=x2+4y2=a2 x=t a2-t2 4
所以S△OAB=
×2|y|×|x|=|t|•1 2
=a2-t2 2
≤(a2-t2)t2 2
，a2 4
当且仅当t2=a2-t2，即|t|=
a时，等号成立．2 2
此时S△OAB最大值为
．…（5分）a2 4
②当l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，
由
，消去y整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-a2=0，x2+4y2=a2 y=kx+m
△=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-a2）=4[4k2+a2-4m2]
由△＞0，得4k2a2+a2-4m2＞0①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=
，x1x2=-8km 4k2+1
②…（7分）4m2-a2 4k2+1
③|AB|=
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] (1+k2)[(
)2-4•-8km 4k2+1
]4m2-a2 4k2+1 =
•2 4k2+1 (1+k2)[a2(1+4k2)-4m2]
原点到直线l距离为 d=
，④…（9分）|m| 1+k2
由面积公式及③④得S△OAB=
×|AB|d=1 2
•1 2
•2 4k2+1 (1+k2)[a2(1+4k2)-4m2] |m| 1+k2
…（11分） =
•1 2
≤
(a2-4m2 1+4k2
)4m2 1+4k2
•1 2
=
+(a2-4m2 1+4k2
)4m2 1+4k2 2
，a2 4
综合①②，S△OAB的最大值为
，由已知得a2 4
=1，所以 a=2．…（12分）a2 4