已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB

问题解答题

已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin²θ=2．
（1）求动点P的轨迹Q的方程；
（2）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N．试问在x轴上是否存在定点C，使得

•

为常数．若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

答案

（1）△APB中，由余弦定理得：AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|•cos2θ=

|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|•（1-2sin²θ）=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|+4|PA|•|PB|sin²θ

=（|PA|-|PB|）²+8=16，∴||PA|-|PB||=2

，故点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，

且 c=2，a=

，∴b=

，故双曲线方程为 x²-y²=2．

（2）假设存在定点C（m，0），使得

•

为常数，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-2），

代入双曲线方程得（1-k²） x²+4k²x-（4k²+2）=0，由题意知 k≠±1．

∴x₁+x₂=

4k2

k2-1

，x₁•x₂=

4k2+2

k2-1

．

∵

•

=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2 ）（x₂-2）

=（1+k²）x₁•x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²=

4(1 - m)

k2-1

+ m2+ 2(1-2m) 为常数，与k无关，

∴m=1，此时，

•

=-1．

当当直线l斜率不存在时，M（2，2

），N （2，-2

），

•

=-1．

综上，存在定点C（1，0），使得

•

为常数．