已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．（1）求动圆的圆心

问题解答题

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．
（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；
（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，且满足

•

=0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答案

（1）如图，设M为动圆圆心，F（1，0），

过点M作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|

即动点M到定点F与到定直线x=-1的距离相等，

由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，

其中F（1，0）为焦点，x=-1为准线，

∴动圆圆心的轨迹方程为y²=4x；

（2）由题可设直线l的方程为x=k（y-1）（k≠0）

由

x=k(y-1)

y2=4x

得y²-4ky+4k=0；△=16k²-16k＞0⇒k＜0ork＞1

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=4k

由

•

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0⇒（k²+1）y₁y₂-k²（y₁+y₂）+k²=0，

解得k=-4或k=0（舍去），

∴直线l存在，其方程为x+4y-4=0．