问题 解答题
已知动圆过定点(1,0),且与直线x=-1相切.
(1)求动圆的圆心轨迹C的方程;
(2)是否存在直线l,使l过点(0,1),并与轨迹C交于P,Q两点,且满足
OP
OQ
=0
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案

(1)如图,设M为动圆圆心,F(1,0),

过点M作直线x=-1的垂线,垂足为N,由题意知:|MF|=|MN|

即动点M到定点F与到定直线x=-1的距离相等,

由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,

其中F(1,0)为焦点,x=-1为准线,

∴动圆圆心的轨迹方程为y2=4x;

(2)由题可设直线l的方程为x=k(y-1)(k≠0)

x=k(y-1)
y2=4x
得y2-4ky+4k=0;△=16k2-16k>0⇒k<0ork>1

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=4k

OP
OQ
=0,即x1x2+y1y2=0⇒(k2+1)y1y2-k2(y1+y2)+k2=0,

解得k=-4或k=0(舍去),

∴直线l存在,其方程为x+4y-4=0.

单项选择题 A1/A2型题
阅读理解与欣赏

深层海水的利用

       ①众所周知,海洋中有着丰富的生物和矿产资源,殊不知海水本身也是海洋宝藏之一。海洋学家在长期的研究中发现,深层海水是海洋的精华。若能充分利用深层海水,将会使人类受益无穷。

       ②所谓深层海水,是指海洋深处的海水。深层海水大量存在于距陆地5000米以外、水深200米以下的地方。在这样的深处,光合作用无法进行,有机物分解的速度远远高于其合成速度,使作为“肥料”的氮、磷、钾等微量元素大都被保存下来,因此它的营养十分丰富,这就为深层海水的利用提供了条件。

       ③同时,深层海水受海底地形及气象条件的影响,会自然涌升到海面上来。在茫茫大海上,这种被称为“涌升海面”的地方仅占全球海洋面积的0.1%,但却集中了海洋鱼类资源的60%,甚至更多。其奥秘就隐藏在深层海水里:当含有丰富微量元素的深层海水涌上海面后,浮游生物和藻类得以更快生长,为鱼类提供了丰饶的“肥料”。研究表明,涌升海域和一般海域在鱼类产量上的差距极为惊人,单位面积涌升海域的鱼类生产量是沿岸海域的上百倍,是外洋海域的数万倍。如果人类能制造“涌升海面”,将使深层海水资源得到充分的利用,很可能给海洋渔业带来一场深刻的革命。

       ④深层海水还是一种几乎没有被污染的水,病菌极少。深层海水营养盐浓度是表层海水的5倍,而细菌含量却只有表层海水的1/10甚至1/100。

       ⑤深层海水在医学领域开始有了用武之地,它已成为一种奇妙的“绿色药品”。医生们用深层海水治疗先天过敏性皮炎,只要在患处涂上深层海水,患者的症状就会得到缓解。据统计,使用深层海水进行治疗的患者,约有60%收到了良好的疗效。不过,医生们尚不清楚究竟是深层海水中的什么成分在治疗中发挥了作用。

       ⑥洁净的深层海水还引起了食品和化妆品生产厂家的极大兴趣。利用深层海水来生产豆腐;酱油、咸菜等,不仅发酵过程加快,而且口感更好。这类产品受到了消费者的青睐,在市场上十分畅销。有些化妆品生产厂家也跃跃欲试,计划利用深层海水开发新一代化妆用品。

       ⑦深层海水每时每刻都在进行着蔚为壮观的大循环,这种大循环使海洋充满了活力。

       ⑧生生不息的深层海水给21世纪的人类带来了新的机遇。

1.第③段中与加粗词“丰饶”意思相近的词语是___________,加粗词“肥料”在文中的意思是___________。

2.第⑤段的画线句运用了_________的说明方法,其作用是_______________。

3.根据文意,下列理解错误的一项是(  )

A.海洋宝藏包括丰富的生物、矿产及深层海水等资源。

B.人工制造“涌升海面”是为了充分利用深层海水资源。 

C.深层海水中无法进行光合作用,微量元素都被保存下来。 

D.单位面积涌升海域的鱼类生产量是外洋海域的数万倍。

4.从全文看,深层海水具有                     、                    和                       的特点,它给21世纪的人类带来的新机遇是(1)                      (2)                      (3)                        。