问题
解答题
已知椭圆的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），直线x=4是它的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A1、A2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P是椭圆上满足|PA1|-|PA2|=2的一点，求tan∠A1PA2的值；
（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A2为焦点的抛物线相交于点M、N，求MN中点Q的轨迹方程．
答案
（1）设椭圆方程为
+x2 a2
=1（a＞b＞0）．y2 b2
由题设有c=1，
=4，a2 c
∴a2=4
∴b2=a2-c2=3．
所求椭圆方程为
+x2 4
=1．y2 3
（2）由题设知，点P在以A1、A2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．
由（1）知A1（-2，0），A2（2，0），
设双曲线方程为
-x2 m2
=1（m＞0，n＞0）．y2 n2
则2m=2，m2+n2=4，
解得m=1，n=
．3
∴双曲线方程为x2-
=1．y2 3
由
+x2 4
=1，x2-y2 3
=1，y2 3
解得P点的坐标为（
，2 10 5
）或（3 5 5
，-2 10 5
）．3 5 5
当P点坐标为（
，2 10 5
）时，tan∠A1PA2=3 5 5
=-4kPA2-kPA1 1+kPA2kPA1
．5
同理当P点坐标为（
，-2 10 5
）时，3 5 3
tan∠A1PA2=-4
．5
故tan∠A1PA2=-4
．5
（3）由题设知，抛物线方程为y2=8x．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点Q（x，y），
当x1≠x2时，有
y12=8x1，①
y22=8x2，②
x=
，③x1+x2 2
y=
，④y1+y2 2
=y1-y2 x1-x2
．⑤y x-1
①-②，得
（y1+y2）=8，y1-y2 x1-x2
将④⑤代入上式，有
•2y=8，y x-1
即y2=4（x-1）（x≠1）．
当x1=x2时，MN的中点为（1，0），仍满足上式．
故所求点Q的轨迹方程为y2=4（x-1）．