已知椭圆的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),直线x=4是它的一条准线.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A1、A2分别是椭圆的左顶点和右顶点,P是椭圆上满足|PA1|-|PA2|=2的一点,求tan∠A1PA2的值;
(3)若过点(1,0)的直线与以原点为顶点、A2为焦点的抛物线相交于点M、N,求MN中点Q的轨迹方程.
(1)设椭圆方程为
+x2 a2
=1(a>b>0).y2 b2
由题设有c=1,
=4,a2 c
∴a2=4
∴b2=a2-c2=3.
所求椭圆方程为
+x2 4
=1.y2 3
(2)由题设知,点P在以A1、A2为焦点,实轴长为2的双曲线的右支上.
由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),
设双曲线方程为
-x2 m2
=1(m>0,n>0).y2 n2
则2m=2,m2+n2=4,
解得m=1,n=
.3
∴双曲线方程为x2-
=1.y2 3
由
+x2 4
=1,x2-y2 3
=1,y2 3
解得P点的坐标为(
,2 10 5
)或(3 5 5
,-2 10 5
).3 5 5
当P点坐标为(
,2 10 5
)时,tan∠A1PA2=3 5 5
=-4kPA2-kPA1 1+kPA2kPA1
.5
同理当P点坐标为(
,-2 10 5
)时,3 5 3
tan∠A1PA2=-4
.5
故tan∠A1PA2=-4
.5
(3)由题设知,抛物线方程为y2=8x.
设M(x1,y1)、N(x2,y2),MN的中点Q(x,y),
当x1≠x2时,有
y12=8x1,①
y22=8x2,②
x=
,③x1+x2 2
y=
,④y1+y2 2
=y1-y2 x1-x2
.⑤y x-1
①-②,得
(y1+y2)=8,y1-y2 x1-x2
将④⑤代入上式,有
•2y=8,y x-1
即y2=4(x-1)(x≠1).
当x1=x2时,MN的中点为(1,0),仍满足上式.
故所求点Q的轨迹方程为y2=4(x-1).