（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．

由题设有c=1，

a2

c

=4，

∴a²=4

∴b²=a²-c²=3．

所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

（2）由题设知，点P在以A₁、A₂为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．

由（1）知A₁（-2，0），A₂（2，0），

设双曲线方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）．

则2m=2，m²+n²=4，

解得m=1，n=

3

．

∴双曲线方程为x²-

y2

3

=1．

由

x2

4

+

y2

3

=1，x²-

y2

3

=1，

解得P点的坐标为（

2 10

5

，

3 5

5

）或（

2 10

5

，-

3 5

5

）．

当P点坐标为（

2 10

5

，

3 5

5

）时，tan∠A₁PA₂=

kPA2-kPA1

1+kPA2kPA1

=-4

5

．

同理当P点坐标为（

2 10

5

，-

3 5

3

）时，

tan∠A₁PA₂=-4

5

．

故tan∠A₁PA₂=-4

5

．

（3）由题设知，抛物线方程为y²=8x．

设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中点Q（x，y），

当x₁≠x₂时，有

y₁²=8x₁，①

y₂²=8x₂，②

x=

x1+x2

2

，③

y=

y1+y2

2

，④

y1-y2

x1-x2

=

y

x-1

．⑤

①-②，得

y1-y2

x1-x2

（y₁+y₂）=8，

将④⑤代入上式，有

y

x-1

•2y=8，

即y²=4（x-1）（x≠1）．

当x₁=x₂时，MN的中点为（1，0），仍满足上式．

故所求点Q的轨迹方程为y²=4（x-1）．