问题 解答题

已知椭圆的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),直线x=4是它的一条准线.

(1)求椭圆的方程;

(2)设A1、A2分别是椭圆的左顶点和右顶点,P是椭圆上满足|PA1|-|PA2|=2的一点,求tan∠A1PA2的值;

(3)若过点(1,0)的直线与以原点为顶点、A2为焦点的抛物线相交于点M、N,求MN中点Q的轨迹方程.

答案

(1)设椭圆方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0).

由题设有c=1,

a2
c
=4,

∴a2=4

∴b2=a2-c2=3.

所求椭圆方程为

x2
4
+
y2
3
=1.

(2)由题设知,点P在以A1、A2为焦点,实轴长为2的双曲线的右支上.

由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),

设双曲线方程为

x2
m2
-
y2
n2
=1(m>0,n>0).

则2m=2,m2+n2=4,

解得m=1,n=

3

∴双曲线方程为x2-

y2
3
=1.

x2
4
+
y2
3
=1,x2-
y2
3
=1,

解得P点的坐标为(

2
10
5
3
5
5
)或(
2
10
5
,-
3
5
5
).

当P点坐标为(

2
10
5
3
5
5
)时,tan∠A1PA2=
kPA2-kPA1
1+kPA2kPA1
=-4
5

同理当P点坐标为(

2
10
5
,-
3
5
3
)时,

tan∠A1PA2=-4

5

故tan∠A1PA2=-4

5

(3)由题设知,抛物线方程为y2=8x.

设M(x1,y1)、N(x2,y2),MN的中点Q(x,y),

当x1≠x2时,有

y12=8x1,①

y22=8x2,②

x=

x1+x2
2
,③

y=

y1+y2
2
,④
y1-y2
x1-x2
=
y
x-1
.⑤

①-②,得

y1-y2
x1-x2
(y1+y2)=8,

将④⑤代入上式,有

y
x-1
•2y=8,

即y2=4(x-1)(x≠1).

当x1=x2时,MN的中点为(1,0),仍满足上式.

故所求点Q的轨迹方程为y2=4(x-1).

完形填空
单项选择题