问题
解答题
已知圆M：（x-m）2+（y-n）2=γ2及定点N（1，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足
（Ⅰ）若m=-1，n=0，r=4，求点G的轨迹C的方程； （Ⅱ）若动圆M和（Ⅰ）中所求轨迹C相交于不同两点A、B，是否存在一组正实数m，n，r使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由． |
答案
（Ⅰ）∵
=2NP
，NQ
∴点Q为PN的中点，
又∵
•GQ
=0，NP
∴GQ⊥PN或G点与Q点重合．
∴|PG|=|GN|．（2分）
又|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=|PM|=4．
∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且a=2，c=1．
∴b=
=a2-c2
，∴G的轨迹方程是3
+x2 4
=1．（5分）y2 3
（Ⅱ）不存在这样一组正实数，下面证明：（6分）
由题意，若存在这样的一组正实数，当直线MN的斜率存在时，设之为k，
故直线MN的方程为：y=k（x-1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点D（x0，y0），
则
，
+x12 4
=1y12 3
+x22 4
=1y22 3
两式相减得：
+(x1-x2)(x1+x2) 4
=0，①（8分）(y1-y2)(y1+y2) 3
注意到
=-y1-y2 x1-x2
，且1 k
，x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2
则
=3x0 4y0
．②1 k
又点D在直线MN上，
∴y0=k（x0-1），代入②式得：x0=4，
因为弦AB的中点D在（1）所给椭圆C内，
故-2＜x0＜2，这与x0=4矛盾．
所以所求这组正实数不存在．（11分）
当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=1，
则此时y1=y2，x1+x2=2，
代入①式得x1-x2=0，这与A，B是不同两点矛盾．
综上，所求的这组正实数不存在．（12分）