问题 解答题
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系,设⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ,点P为⊙C上一动点,点M的极坐标为(4,
π
2
)
,点Q为线段PM的中点.
(1)求点Q的轨迹C1的方程;
(2)试判定轨迹C1和⊙C的位置关系,并说明理由.
答案

(1)∵⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ,∴⊙C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1;

∵点M的极坐标为(4,

π
2
),∴直角坐标为(0,4)

设P(x0,y0),Q(x,y),则x02+(y0-1)2=1①

∵点Q为线段PM的中点,∴

x0=2x
y0=2y-4

代入①,可得点Q的轨迹C1的方程x2+(y-

5
2
2=
1
4

(2)x2+(y-1)2=1的圆心坐标为(0,1),半径为1;x2+(y-

5
2
2=
1
4
的圆心坐标为(0,
5
2
),半径为
1
2

∴两圆圆心距为

3
2
,等于两圆半径和,所以两圆外切.

单项选择题
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