问题
解答题
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ，点P为⊙C上一动点，点M的极坐标为(4，
（1）求点Q的轨迹C1的方程； （2）试判定轨迹C1和⊙C的位置关系，并说明理由． |
答案
（1）∵⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ，∴⊙C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0，即x2+（y-1）2=1；
∵点M的极坐标为(4，
)，∴直角坐标为（0，4）π 2
设P（x0，y0），Q（x，y），则x02+（y0-1）2=1①
∵点Q为线段PM的中点，∴x0=2x y0=2y-4
代入①，可得点Q的轨迹C1的方程x2+（y-
）2=5 2
；1 4
（2）x2+（y-1）2=1的圆心坐标为（0，1），半径为1；x2+（y-
）2=5 2
的圆心坐标为（0，1 4
），半径为5 2 1 2
∴两圆圆心距为
，等于两圆半径和，所以两圆外切．3 2