问题
解答题
| 函数f（x）满足：f（3x+y）=3f（x）+f（y）对任意的x，y∈R均成立，且当x＞0时，f（x）＜0． （I）求证：f（4x）=4f（x），f（3x）=3f（x）； （II）判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性并证明； （III）若f（8）=-2，解不等式：f(log2
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答案
（I）证明：令y=x，则f（4x）=4f（x）
令x=y=0，则f（0）=0
令y=0，则f（3x）=3f（x）
（II）f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，以下证明：
任设x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＞x2，则
f（x1）-f（x2）=f（
×3+x2）-f（x2）=3f（x1-x2 3
）x1-x2 3
∵x1-x2＞0
∴f（
）＜0x1-x2 3
即f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
（III）∵f（8）=-2
∴4f（2）=2，∴f（2）=-1 2
12f（log2
）=3f（4log24 x
）=3f（log2x）4 x
∴f(log2
)+12f(log24x-2 x2
)=f(log2x
)+3f(log2x )x-2 x2
=f(log2
+3log2x )=f（log2[x（x-2）]）x-2 x2
∴f(log2
)+12f(log24x-2 x2
)＜-x
⇔f（log2[x（x-2）]）＜f（2）1 2
⇔
2⇔x＞0 log2[x(x-2)]＞ x-2＞0
⇔x＞1+x＞2 x(x-2)＞4 5
∴不等式的解集为x＞1+5