（1）由题意可得，f（x）为奇函数，故有 f（-x）=-f（x），即 log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

，

即 log

1

2

1+ax

-x-1

=log

1

2

x-1

1-ax

，∴

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，解得a=±1．   …（3分）

经检验，当a=1时不合条件，故a=-1． …（4分）

（2）由（1）可得f（x）=log 

1

2

 

x+1

x-1

，函数在区间（1，+∞）内单调递增．…（10分）

证明：令g（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，由于

2

x-1

在 区间（1，+∞）内单调递减，

故函数g（x）在区间（1，+∞）内单调递减，故函数f（x）=log 

1

2

x+1

x-1

在区间（1，+∞）内单调递增．

（3）令h（x）=f（x）-(

1

2

)x，则由（2）得h（x）在[3，4]上单调递增，…（12分）

故g（x）的最小值为g（3）=-

9

8

． …（14分）

 m＜-

9

8

．…（16分）