证明：（I）f（x）在（-1，1）上递减

函数的定义域为

x+2≠0 1-x 1+x ＞0

解得x∈（-1，1）

∵f′(x)=-

1

(x+2)2

-

2

1-x2

ln10＜0

∴f（x）在（-1，1）上递减

（II）∵f（x）与f^-1（x）的单调性相同

∴f^-1（x）在定义域上递减

∵f(0)=

1

2

∴f-1(

1

2

)=0

∴f^-1（x）=0有解，且唯一

（III）原不等式同解于f[x(x-

1

2

)]＜f(0)

∵f（x）在（-1，1）上递减

∴

-1＜x(x- 1 2 )＜1 x(x- 1 2 )＞0

解得

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0

∴解集为{x|

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0}．