问题
解答题
| 已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）． （1）讨论曲线C所表示的轨迹形状； （2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=
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答案
（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；…（1分）
当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=-1；…（1分）
当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆； …（1分）
当a=1时，曲线C的轨迹是圆 x2+y2=1； …（1分）
当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆． …（1分）
（2）由
，得（a+1）x2-2ax+a-1=0…①…（2分）y=x-1 x2+ay2=1
因为a≠-1，所以方程①为一元二次方程，△=4a2-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直线l与曲线C必有两个交点． …（1分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2为方程①的两根，所以x1+x2=
，x1x2=2a a+1
，…（1分）a-1 a+1
所以|MN|=
|x1-x2|=2
×2
=(
)2-4×2a a+1 a-1 a+1
，…（2分）2
所以a2+2a-3=0，解得a=1或a=-3． …（2分）
因此曲线C的方程为x2+y2=1或x2-3y2=1． …（1分）