问题
解答题
设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）写出一个符合要求的函数，并猜想f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．
答案
（1）y=logax（a＞1，x＞0），…（2分）f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x2＜x1
由f（xy）=f（x）+f（y），得f（xy）-f（x）=f（y），令xy=x1，x=x2，则，∵x1＞x2＞0，∴
＞1，∴f(x1)-f(x2)=f(x1 x2
)＞0，∴f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）x1 x2
由f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=2，得f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）=2…（7分）∴f（x）+f（x-3）≤f（4），即f[x（x-3）]≤f（4），…（8分）
由f（x）在（0，+∞）上单调递增，得
，…（10分） 解得x(x-3)≤4 x＞0 x-3＞0
，…（11分）-1≤x≤4 x＞3
所以不等式的解集为{x|3＜x≤4}．…（12分）