令y=x，则4f（x）f（0）=2f（x），∴f（0）=

1

2

令y=-x，则4f（0）f（x）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=f（x），∴f（1）=

1

4

．

令

x+y

2

=m，

x-y

2

=n，则4f（m）f（n）=f（m+n）+f（m-n）

令n=-1，则4f（m）f（-1）=f（m-1）+f（m+1），∴f（m+1）=f（m）-f（m-1）

∴f（2）=f（1）-f（0）=

1

4

-

1

2

=-

1

4

，f（3）=f（2）-f（1）=-

1

4

-

1

4

=-

1

2

，f（4）=f（3）-f（2）=-

1

4

f（5）=f（4）-f（3）=

1

4

，…

即函数是以4为周期的周期函数

∴f（-2012）=f（2012）=f（4×503）=-

1

4

故选A．