问题 解答题
已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点,满足|AB|=2,点P在线段AB上且
AP
=2
PB
,设点P的轨迹方程为C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点,点Q的坐标为(
3
2
,3)
,求△QMN的面积S的最大值.
答案

(Ⅰ)设点A、B、P的坐标分别为(a,0)、(0,b)、(x,y),

x=
a
3
y=
2b
3
a=3x
b=
3
2
y.

由|AB|=2得a2+b2=4,

所以曲线C的方程为

9x2
4
+
9y2
16
=1.(5分)

(Ⅱ)设M(x1,y1),N(-x1,-y1),

|MN|=2

x12+y12

当x1≠0时,设直线MN的方程为y=

y1
x1
x,

则点Q到直线MN的距离h=

|
3
2
y1-3x1|
x12+y12

∴△QMN的面积S=

1
2
•2
x12+y12
|
3
2
y1-3x1|
x12+y12
=|
3
2
y1-3x1|.(11分)

S2=|

3
2
y1-3x1|2=9x12+
9
4
y12-9x1y1

又∵

9x12
4
+
9y12
16
=1,

9x12+

9
4
y12=4.

∴S2=4-9x1y1

1=

9x12
4
+
9y12
16
≥-2•
3x1
2
3y1
4
=-
9x1y1
4

则-9x1y1≤4.

S2≤8,S≤2

2

当且仅当

3x1
2
=-
3y1
4
时,

x1=-

1
2
y1时,“=”成立.

当x1=0时,|MN|=2•

4
3
=
8
3

∴△QMN的面积S=

1
2
8
3
3
2
=2.

∴S有最大值2

2
.(14分)

问答题 简答题
单项选择题