问题
解答题
已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上且
（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为(
|
答案
（Ⅰ）设点A、B、P的坐标分别为（a，0）、（0，b）、（x，y），
则
即x= a 3 y= 2b 3 a=3x b=
y.3 2
由|AB|=2得a2+b2=4，
所以曲线C的方程为
+9x2 4
=1．（5分）9y2 16
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（-x1，-y1），
则|MN|=2
．x12+y12
当x1≠0时，设直线MN的方程为y=
x，y1 x1
则点Q到直线MN的距离h=
，|
y1-3x1|3 2 x12+y12
∴△QMN的面积S=
•21 2
•x12+y12
=||
y1-3x1|3 2 x12+y12
y1-3x1|．（11分）3 2
∴S2=|
y1-3x1|2=9x12+3 2
y12-9x1y1．9 4
又∵
+9x12 4
=1，9y12 16
∴9x12+
y12=4．9 4
∴S2=4-9x1y1．
而1=
+9x12 4
≥-2•9y12 16
•3x1 2
=-3y1 4
，9x1y1 4
则-9x1y1≤4．
即S2≤8，S≤2
．2
当且仅当
=-3x1 2
时，3y1 4
即x1=-
y1时，“=”成立．1 2
当x1=0时，|MN|=2•
=4 3
，8 3
∴△QMN的面积S=
•1 2
•8 3
=2．3 2
∴S有最大值2
．（14分）2