问题
解答题
已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点,满足|AB|=2,点P在线段AB上且
(Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点,点Q的坐标为(
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答案
(Ⅰ)设点A、B、P的坐标分别为(a,0)、(0,b)、(x,y),
则
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由|AB|=2得a2+b2=4,
所以曲线C的方程为
9x2 |
4 |
9y2 |
16 |
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(-x1,-y1),
则|MN|=2
x12+y12 |
当x1≠0时,设直线MN的方程为y=
y1 |
x1 |
则点Q到直线MN的距离h=
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| ||
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∴△QMN的面积S=
1 |
2 |
x12+y12 |
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| ||
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3 |
2 |
∴S2=|
3 |
2 |
9 |
4 |
又∵
9x12 |
4 |
9y12 |
16 |
∴9x12+
9 |
4 |
∴S2=4-9x1y1.
而1=
9x12 |
4 |
9y12 |
16 |
3x1 |
2 |
3y1 |
4 |
9x1y1 |
4 |
则-9x1y1≤4.
即S2≤8,S≤2
2 |
当且仅当
3x1 |
2 |
3y1 |
4 |
即x1=-
1 |
2 |
当x1=0时,|MN|=2•
4 |
3 |
8 |
3 |
∴△QMN的面积S=
1 |
2 |
8 |
3 |
3 |
2 |
∴S有最大值2
2 |