问题
解答题
已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点,满足|AB|=2,点P在线段AB上且
(Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点,点Q的坐标为(
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答案
(Ⅰ)设点A、B、P的坐标分别为(a,0)、(0,b)、(x,y),
则
即x= a 3 y= 2b 3 a=3x b=
y.3 2
由|AB|=2得a2+b2=4,
所以曲线C的方程为
+9x2 4
=1.(5分)9y2 16
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(-x1,-y1),
则|MN|=2
.x12+y12
当x1≠0时,设直线MN的方程为y=
x,y1 x1
则点Q到直线MN的距离h=
,|
y1-3x1|3 2 x12+y12
∴△QMN的面积S=
•21 2
•x12+y12
=||
y1-3x1|3 2 x12+y12
y1-3x1|.(11分)3 2
∴S2=|
y1-3x1|2=9x12+3 2
y12-9x1y1.9 4
又∵
+9x12 4
=1,9y12 16
∴9x12+
y12=4.9 4
∴S2=4-9x1y1.
而1=
+9x12 4
≥-2•9y12 16
•3x1 2
=-3y1 4
,9x1y1 4
则-9x1y1≤4.
即S2≤8,S≤2
.2
当且仅当
=-3x1 2
时,3y1 4
即x1=-
y1时,“=”成立.1 2
当x1=0时,|MN|=2•
=4 3
,8 3
∴△QMN的面积S=
•1 2
•8 3
=2.3 2
∴S有最大值2
.(14分)2