问题 解答题
已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点,满足|AB|=2,点P在线段AB上且
AP
=2
PB
,设点P的轨迹方程为C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点,点Q的坐标为(
3
2
,3)
,求△QMN的面积S的最大值.
答案

(Ⅰ)设点A、B、P的坐标分别为(a,0)、(0,b)、(x,y),

x=
a
3
y=
2b
3
a=3x
b=
3
2
y.

由|AB|=2得a2+b2=4,

所以曲线C的方程为

9x2
4
+
9y2
16
=1.(5分)

(Ⅱ)设M(x1,y1),N(-x1,-y1),

|MN|=2

x12+y12

当x1≠0时,设直线MN的方程为y=

y1
x1
x,

则点Q到直线MN的距离h=

|
3
2
y1-3x1|
x12+y12

∴△QMN的面积S=

1
2
•2
x12+y12
|
3
2
y1-3x1|
x12+y12
=|
3
2
y1-3x1|.(11分)

S2=|

3
2
y1-3x1|2=9x12+
9
4
y12-9x1y1

又∵

9x12
4
+
9y12
16
=1,

9x12+

9
4
y12=4.

∴S2=4-9x1y1

1=

9x12
4
+
9y12
16
≥-2•
3x1
2
3y1
4
=-
9x1y1
4

则-9x1y1≤4.

S2≤8,S≤2

2

当且仅当

3x1
2
=-
3y1
4
时,

x1=-

1
2
y1时,“=”成立.

当x1=0时,|MN|=2•

4
3
=
8
3

∴△QMN的面积S=

1
2
8
3
3
2
=2.

∴S有最大值2

2
.(14分)

单项选择题

(三)  随着人们对信息需求的日益增长,许多国家都在大力开发可视图文信息系统。这种系统把用户终端(计算机和电话机)通过现有的公用电信网与图文信息中心计算机的数据库连接起来,进行数据通信,向公众开放信息服务,使信息资源在最大范围内实现共享,这个系统亦称为可视数据系统。  用户在家中只要通过操纵终端设备,就可以方便地向图文信息中心检索所需要的各种可视图文信息。各个用户可在电视机屏幕前分别与图文信息中心的计算机“对话”,而不只是被动地接收信息。这种可以进行人机对话的信息系统又称为交互(交互就是有问有答)可视信息系统。它是信息社会中一种比较理想的通信手段。这种可视信息系统自从1979年问世以来,至今已普及到几十个国家和地区,我国也已开通了可视图文通信业务。  在可视图文系统中,用户与电视节目中心数据库或图像库直接通信,成为声音、图像综合以及娱乐、教育、信息一体化的通信手段。它也是实现办公自动化和家庭自动化的重要工具。  交互可视信息系统使有线电视可供选择的频道增加到一二百个,而且各家庭(个人)同发射台可以进行双向通信联络,用户不仅可以点播节目,还可以参与电视节目的制作。  可视图文系统已经使人们的生活发生一系列的改变。它给教学活动、生产管理等带来极大的方便。  可视图文系统最有效的领域要算是购物和预约订货了。顾客不出家门就可通过可视图文终端进行购物和款项的支付结算。

对可视图文信息系统表述错误的一项是( )。

A.它是实现办公自动化和家庭自动化的重要工具

B.交互可视信息系统是可视图文信息系统的一种

C.用户利用计算机在家中就能购物

D.用户操纵计算机参与电视节目制作已有十几年历史

判断题