(文)(1)已知动点P(x,y)到点F(0,1)与到直线y=-1的距离相等,求点P的轨迹L的方程;
(2)若正方形ABCD的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<0≤x2<x3)在(1)中的曲线L上,设BC的斜率为k,l=|BC|,求l关于k的函数解析式l=f(k);
(3)由(2),求当k=2时正方形ABCD的顶点D的坐标.
(1)由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y. (4分)
(2)由(1),可设直线BC的方程为:y=k(x-x2)+
(k>0),x 22 4
消y得x2-4kx-x22+4kx2=0,y=k(x-x2)+ x 22 4 x2=4y
易知x2、x3为该方程的两个根,故有x2+x3=4k,得x3=4k-x2,
从而得|BC|=
(x3-x2)=21+k2
(2k-x2),(7分)1+k2
类似地,可设直线AB的方程为:y=-
(x-x2)+1 k
,x 22 4
从而得|AB|=
(2+kx2),(9分)2 1+k2 k2
由|AB|=|BC|,得k2•(2k-x2)=(2+kx2),
解得x2=
,(11分)l=f(k)=2(k3-1) k2+k
(k>0). (13分)4
(k2+1)1+k2 k(k+1)
(3)由(2)及k=2可得点B、C、A的坐标分别为,B(
,7 3
),C(49 36
,17 3
),A(-289 36
,13 3
),所以D(-1,169 36
). (18分)409 36