问题 解答题

(文)(1)已知动点P(x,y)到点F(0,1)与到直线y=-1的距离相等,求点P的轨迹L的方程;

(2)若正方形ABCD的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<0≤x2<x3)在(1)中的曲线L上,设BC的斜率为k,l=|BC|,求l关于k的函数解析式l=f(k);

(3)由(2),求当k=2时正方形ABCD的顶点D的坐标.

答案

(1)由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y.                         (4分)

(2)由(1),可设直线BC的方程为:y=k(x-x2)+

x22
4
(k>0),
y=k(x-x2)+
x22
4
x2=4y
消y得x2-4kx-x22+4kx2=0,

易知x2、x3为该方程的两个根,故有x2+x3=4k,得x3=4k-x2

从而得|BC|=

1+k2
(x3-x2)=2
1+k2
(2k-x2),(7分)

类似地,可设直线AB的方程为:y=-

1
k
(x-x2)+
x22
4

从而得|AB|=

2
1+k2
k2
(2+kx2),(9分)

由|AB|=|BC|,得k2•(2k-x2)=(2+kx2),

解得x2=

2(k3-1)
k2+k
,(11分)l=f(k)=
4
1+k2
(k2+1)
k(k+1)
(k>0).                              (13分)

(3)由(2)及k=2可得点B、C、A的坐标分别为,B(

7
3
49
36
),C(
17
3
289
36
)
A(-
13
3
169
36
)
,所以D(-1,
409
36
)
.                              (18分)

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