问题
解答题
| 已知圆C：（x+1）2+y2=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P， （1）求点P的轨迹E的方程； （2）设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W．（Q，S，R，T为不同的四个点） ①设W（x°，y°），证明：
②求四边形QRST的面积的最小值． |
答案
（1）设动圆半径为r，
则|PC|=2
-r，|PD|=r，|PC|+|PD|=22
＞|CD|=2，2
由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，
其方程为
+y2=1．（2分）x2 2
（2）①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，
则有x°2+y°2=1，
又因Q，S，R，T为不同的四个点，
+y°2＜1．（4分）x°2 2
②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．（6分）
若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，
则l1的方程为y=k1（x+1），
联立
，y=k1(x+1)
+y2=1x2 2
得（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0，
则|QS|=22
，（8分）k2+1 2k2+1
同理得|RT|=22
，k2+1 k2+2
∴SQSRT=
|QS|•|RT|=41 2
≥4(k2+1)2 (2k2+1)(k2+2)
=(k2+1)2
(k2+1)29 4
，16 9
当且仅当2k2+1=k2+1，即k=±1时等号成立．（11分）
综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为
．（12分）16 9