解：不妨设C₁，C₂和C的半径分别为r₁，r₂，r（r₁>r₂）

（1）当C₁和C₂相离时，即|C₁C₂|>r₁+r₂，

（i）若C与C₁，C₂都外切，

则|CC₁|=r₁+r，|CC₂|=r₂+r，

∴|CC₁|-|CC₂|=r₁-r₂

若C与C₁，C₂都内切，

则|CC₁|=r-r₁，|CC₂|=r-r₂，

∴|CC₂|-|CC₁|=r₁-r₂；

∴||CC₂|-|CC₁||=r₁-r₂<|C₁C₂|，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C₁，C₂为焦点、实轴长为r₁-r₂的双曲线；

（ii）若C与C_l内切，C₂外切，

则|CC₁|=r-r₁，|CC₂|=r₂+r，

∴|CC₂|-|CC₁|=r₁+r₂；

若C与C₁外切，C₂内切，

则|CC₁|=r+r₁，|CC₂|=r-r₂，

∴|CC₁|-|CC₂|=r₁+r₂

∴||CC₂|-|CC₁||=r₁+r₂<|C₁C₂|，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C₁，C₂为焦点、实轴长为r₁+r₂的双曲线；

（2）当C₁和C₂外切时，即|C₁C₂|=r₁+r₂，

（i）若C与C₁，C₂都外切，

则|CC₁|=r₁+r，|CC₂|=r₂+r，

∴|CC₁|-|CC₂|=r₁-r₂；

若C与C₁，C₂都内切，

则|CC₁|=r-r₁，|CC₂|=r-r₂，

∴|CC₂|-|CC₁|=r₁-r₂；

∴||CC₂|-|CC₁||=r₁-r₂<|C₁C₂|，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C₁，C₂为焦点、实轴长为r-r₂的双曲线；

（ii）若C与C₁内切，C₂外切，

则|CC₁|=r-r₁，|CC₂|=r₂+r（或|CC₁|=r₁-r，|CC₂|=r₂+r）（如图1，2），

∴|CC₂|-|CC₁|=r₁+r₂（或|CC₂|+|CC₁|=r₁+r₂）

若C与C₁外切，C₂内切，

则|CC₁|=r+r₁，|CC₂|=r-r₂（或|CC₁| =r+r₁，|CC₂|=r₂-r），

∴|CC₁|-|CC₂|=r₁+r₂=|C₁C₂|（或|CC₂|+|CC₁|=r₁+r₂= |C₁C₂|），

∴C的圆心的轨迹是过C₁，C₂的直线（除直线与圆C₁、C₂的交点外）；  

（3）当C₁和C₂相交时，

即r₁-r₂<|C₁C₂|

（i）若C与C₁，C₂都外切，

则|CC₁|=r₁+r，|CC₂|=r₂+r，

∴|CC₁|-|CC₂|=r₁-r₂

若C与C₁，C₂都内切，

则|CC₁|=r-r₁，|CC₂|=r-r₂（或|CC₁| =r₁-r，|CC₂|=r₂-r）， ∴||CC₂|-|CC₁|| =r₁-r₂

∴||CC₂|-|CC₁|| =r₁-r₂<|C₁C₂|，

由双曲线的定义，C的圆心轨迹是以C₁，C₂为焦点、实轴长为r₁-r₂的双曲线（圆C₁，C₂的交点除外）；

（ii）若C与C₁内切，C₂外切（如图3），

则|CC₁|=r₁-r，|CC₂|=r₂+r，

∴|CC₂|+|CC₁|=r₁+r₂

若C与C₁外切，C₂内切，

则|CC₁|=r+r₁，|CC₂|=r₂-r，

∴|CC₂|+|CC₁|=r₁+r₂

∴|CC₂|+|CC₁|=r₁+r₂>|C₁C₂|，由椭圆的定义，C的圆心的轨迹方程是以C₁，C₂为焦点、实轴长为r₁+r₂的椭圆（圆 C₁、C₂的交点除外）；

（4）当C₁和C₂内切时，

即|C₁C₂| =r₁-r₂，

（i）若C与C₁，C₂都外切，

则|CC₁|=r₁+r，|CC₂|=r₂+r，

∴|CC₁|-|CC₂|=r₁-r₂；

若C与C₁，C₂都内切，

则|CC₁|=r-r₁，|CC₂|=r-r₂（或|CC₁| =r₁-r，|CC₂|=r-r₂或|CC₁|=r₁-r，|CC₂|=r₂-r）（如图4， 5，6），

∴|CC₂|-|CC₁|=r₁-r₂（或|CC₂|+|CC₁|=r₁-r₂或|CC₂|- |CC₁|=r₂-r₁）

∴||CC₂|-|CC₁||=r₁-r₂=|C₁C₂|或|CC₂|+|CC₁|=r₁-r₂，

∴C的圆心的轨迹是过C₁，C₂的直线（除直线与圆C₁ 、C₂的交点外）；

（ii）若C与C₁内切，C₂外切，

则|CC₁|=r₁-r，|CC₂|=r₂+r，

∴|CC₂|+|CC₁|=r₁+r₂>|C₁C₂|，

∴C的圆心的轨迹是以C₁，C₂为焦点、实轴长为r₁+r₂的椭圆（两圆C₁、C₂的交点除外）；

（5）当C₁和C₂内含时，

即|C₁C₂|＜r₁-r₂，

（i）若C与C₁，C₂都内切（如图7），

则|CC₁|=r₁-r，|CC₂|=r-r₂，

∴|CC₂|+|CC₁|=r₁-r₂>|C₁C₂|，

∴C的圆心的轨迹是以C₁，C₂为焦点、实轴长为r₁-r₂的椭圆；

（ii）若C与C₁内切，C₂外切，

则|CC₁|=r₁- r，|CC₂|=r₂+r，

∴|CC₂|+|CC₁|=r₁+r₂>|C₁C₂|，

∴C的圆心的轨迹是以C₁，C₂为焦点、实轴长为r₁+r₂的椭圆。