解：依题意知：关于x的一元二次方程x²-2x+a=0一定有实根，

∴△≥0，

即4-4a≥0，

解得a≤1，

∵a是非负整数，

∴a=1或a=0，

当a=1时，关于x的一元二次方程为x²-2x+1=0，

解这个方程得x₁=x₂=1，

∵1是正整数，

∴a=1符合题意；

当a=0时，关于x的一元二次方程为x²-2x=0，

解这个方程得x₂=2，x₁=0，

∵0不是正整数，

∴a=0不符合题意，故舍去，

即所求的非负整数a=1。